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五勝五敗で減る資産
みなさんこんにちは。

こんなゲームを考えてみました。

ここにトランプがあり、偶数のカードがでればあなたの勝ちで
お金は30%増えます。

逆に奇数がでればあなたの負けで、お金は30%減ってしまいます。

なお最初の手持ちは10,000円で、トランプはよく繰ったあとで
積まれているとします。

ここで仮にあなたが『偶数、奇数、偶数、奇数・・・』
というように、交互に勝ち負けを繰り返したとしましょう。

さて10枚目のカードをとったあと、あなたの手持のお金は
いくらになっているでしょう。

答えは6240円です。

ちょっと不思議ですね、五勝五敗だから10,000円のような
気がするのですが・・・

念のため手持ちのお金の推移をみておきましょう。

・一回目 13,000円
・ニ回目  9,100円
・三回目 11,830円
・四回目  8,280円
・五回目 10,770円
・六回目  7,540円
・七回目  9,800円
・八回目  6,860円
・九回目  8,910円
・十回目  6,240円


というように(10,000円-6,240円=)3,760円だけ、
手持ちのお金は減ってしまうことになります。

このようなご紹介をしますと、なかには最初に偶数をひいたからだ
とお思いの方もいらっしゃるかもしれませんが、最初にどっちを
ひいても結果は同じになります。以下念のため。

【最初に奇数をひいた場合】

・一回目  7,000円
・ニ回目  9,100円
・三回目  6,370円
・四回目  8,280円
・五回目  5,800円
・六回目  7,540円
・七回目  5,270円
・八回目  6,860円
・九回目  4,800円
・十回目  6,240円


上記は奇数と偶数を交互に引いた場合の結果ですが、
仮に奇数を5枚連続でひき、そのあとすべて偶数をひいても
やはり結果は同じです。

勝った場合はプラス30%、負けたらマイナス30%ですから、
期待リターンはゼロのはずですよね。

期待リターンがゼロなのに、あなたのお金はなぜどんどん
減ってゆくのでしょうか・・・

ごく大雑把に申し上げれば、「一人勝ち現象」が起きている
からです。

どういうことかと言いますと、仮に上記のゲームでAさんが
全て偶数のカードをひいて勝ち続けたとしましょう(注)。

注)このように全勝する人は、256人に一人いる計算です。

10枚のカードをめくった後、Aさんの所持金は81,570円に
なります。

これに対し全て奇数のカードをひいてしまった不幸なBさんが
いたとしましょう、ゲーム終了後Bさんの手元に残るお金は
580円となります。

確かに580円といいますと、元手の10,000円に比べれば悲しくなる
金額ですが、減少額そのものをみますと10,000円?580円=9,420円
に過ぎず、これを全勝したAさんの所持金の増加額
(81,570円?10,000円=71,570円)と比べると、僅か八分の一
程度に過ぎません。

もっと平ったく言えば、「増える方は理論上は無限大だが、
減る方はゼロ円以下にはならない」ということで、これを
グラフに描けば、左側が詰まって右側に長い分布が
ある状態(いわゆる「ファット・テール」)になります。

要するに「一握りの勝ち組」によって平均リターンがかさ上げ
されており、分布の最も多い五勝五敗近辺では、マイナスの
リターンになってしまうというわけです。

このようなことが実際の資産運用の世界で起きている
とすれば深刻ですね・・・なにしろ僅かの「勝ち組」を
除くと、半数以上の参加者は資産を徐々に減らし続ける
ことになるわけですから・・・

では、今回はこのへんで。
(2010年3月23日)




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